阿基米德折弦定理证明-趣百科

阿基米德折弦定理证明

最近新学了个定理，下面给出了截长法的证明，希望能给大家带来帮助。

阿基米德折弦定理：圆内有两弦AB、BC，（AB大于BC）D为弧ADC的中点，作DG垂直于AB于G，则AG=BG+BC。

（此部分不属于证明）画图过程：连AC，过圆心O作AC垂线并交弧ABC于D,则D为弧ABC的中点。（证明：连AO、CO，由于在Rt三角形AEO、CEO中，半径AO=半径CO，OE=OE，所以三角形AEO全等于三角形CEO（HL）所以∠AOE=∠COE，所以弧AD=弧CD）

（此部分不属于证明）画图过程：过D作AB垂线DG交AB于G。

定理辅助线：在线段AB上取G使得GF=BF，连AD、CD、BD

定理证明：等弧对等角

所以弧AD所对的圆周角∠ACD=∠ABD

不难得出三角形DFG全等于三角形DFB

所以BD=DG

由于弧AD=弧CD

根据弧与弦的关系，等弧对等弦，所以AD=CD

所以∠DAC=∠DCA=∠DGB=∠DBG

由于三角形内角和180度

所以∠ADC=∠GDB

所以角ADC-角GDC=角BDG-角GDC

所以角ADG=角CDB

所以：在三角形ADG、三角形CDB中

AD=CD，角ADG=角CDB，DG=BD

所以三角形ADG全等于三角形CDB

所以AG=BC

所以AF=BC+GF=BF+BC

得证

阿基米德折弦定理证明